Normanthiia – Formation des formateurs NSI & SNT
Bruno Mermet – Licence CC BY-NC-SA – 09/26
Posé par Paul Erdős en 1946, le problème des distances unitaires s’intéresse au nombre maximal de paires de points, noté U(n), pouvant se situer à une distance exactement égale à 1 au sein d’un ensemble de n points dans le plan euclidien ℝ2. Erdős avait conjecturé que la croissance de ce nombre restait presque linéaire. Le 20 mai 2026, OpenAI a annoncé qu’un modèle de raisonnement interne avait invalidé cette conjecture de manière autonome, sans orientation humaine vers un contre-exemple spécifique.
Retombées :
Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement des fluides incompressibles. L’un des sept problèmes du Prix du Millénaire, doté d’un million de dollars par l’Institut de mathématiques Clay en 2000, consiste à déterminer si ces équations conservent toujours des solutions lisses (régulières) pour des conditions initiales régulières, ou si elles peuvent développer des singularités en temps fini.
Au moyen de modèles de langage (notamment Claude d’Anthropic et Codex / GPT-5.6 Sol d’OpenAI), Buckmaster et Alpöge sont parvenus le 15 août 2026 à prouver l’effondrement en temps fini pour les équations d’Euler 3D avec forçage lisse.
OpenAI a mobilisé le 1er septembre 2026 un système interne de grande envergure basé sur son modèle expérimental GPT-6 Astra. Pendant 88 heures, près de 10 000 agents autonomes coordonnés ont exploré parallèlement de multiples pistes de preuve, générant 2,7 millions de messages et consommant environ 130 milliards de jetons de sortie (un coût estimé à 15 millions de dollars en tarif public). Le 6 septembre 2026, OpenAI a affirmé avoir obtenu une preuve complète d’effondrement en temps fini pour les équations complètes de Navier-Stokes (validant les options C et D de la formulation officielle de Charles Feerman). La preuve a été formalisée sous Lean 4 et vérifiée en 17 heures par le modèle GPT-6 Astra.
Cette annonce simultanée a déclenché une controverse majeure dans le monde académique.
Synthèse des 10 problèmes ouverts résolus par le modèle Astra d’OpenAI (Août 2026)
| # | Discipline | Problème / Conjecture | Apport théorique du modèle Astra |
|---|---|---|---|
| 1 | Géométrie de haute dimension | Empilement de sphères | Nouvelles bornes supérieures de densité se rapprochant du seuil de Cohn-Elkies |
| 2 | Théorie de l’information | Codes binaires & sphériques | Amélioration exponentielle des bornes de taille pour les codes à distance minimale prescrite |
| 3 | Théorie des groupes | Groupes non-sofiques | Première construction explicite d’un groupe non-sofique (problème ouvert depuis Gromov, 1999) |
| 4 | Algèbres d’opérateurs | Conjecture de rigidité de Connes | Réfutation de l’identification unique des groupes par leurs algèbres de von Neumann |
| 5 | Complexité calculatoire | Circuits arithmétiques | Nouvelles bornes inférieures pour le calcul du permanent (\(n^4 / n\)) |
| 6 | Informatique quantique | Répétition parallèle quantique | Preuve d’un théorème de répétition parallèle exponentielle pour les jeux quantiques à 2 joueurs |
| 7 | Cryptographie sur réseaux | Vecteur le plus proche (CVP) | Démonstration de la dureté d’approximation par facteur de degré polynomial |
| 8 | Géométrie convexe | Volume d’Ehrhart | Détermination du volume maximal d’un corps convexe avec un seul point de réseau interne |
| 9 | Théorie de Ramsey | Nombres de Ramsey multicolores | Borne inférieure super-exponentielle pour les nombres multicolores de triangles (Erdős #183) |
| 10 | Théorie des graphes | Compacité et dégénérescence | Résolution des conjectures 146 et 180 du catalogue d’Erdős |
Dans une tribune parue le 11 juin notamment dans le monde, 25 “médailles Fields” réagissent :
Force est désormais d’admettre que les objectifs des entreprises d’IA et ceux de la communauté mathématique divergent profondément. C’est à nos yeux un exemple frappant de l’écart qui se creuse de plus en plus entre ces technologies et, d’une part, les professions scientifiques et créatives, d’autre part, la société dans son ensemble.
En mathématiques, les deux ressources les plus importantes, que nous essayons de cultiver avec le plus grand soin, sont les étudiants et les idées. En tant que mathématiciens, nous estimons qu’il est de notre responsabilité de leur permettre de développer pleinement leur potentiel. Nous proposons donc aux étudiants de résoudre des problèmes dans l’intention première de les aider à accroître leurs compétences ; ils pourront ainsi par la suite faire progresser la recherche à leur tour, ou réussir leur vie de la manière dont ils l’entendent
la production massive, à un rythme toujours plus rapide, d’énoncés « vrais/faux » pourrait détruire des terrains fertiles pour l’esprit humain au lieu de donner vie à des idées innovantes.
Souvent, ces solutions sont annoncées dans la précipitation, sans laisser le temps nécessaire […] à l’identification des nouvelles méthodes et idées développées, ou à la citation des travaux antérieurs.
De manière plus générale, nous assistons à une menace globale contre le travail intellectuel, liée à un désalignement entre les résultats de l’utilisation de l’IA et la finalité initiale de ce travail.
L’IA offre la possibilité d’enrichir et d’accélérer l’étude et la compréhension authentiques des mathématiques. Les mathématiques devront s’adapter à ces changements. Toutefois, la question de savoir si ces bouleversements profiteront finalement à la discipline ou auront, au contraire, un effet destructeur dépendra en grande partie des décisions prises par les humains qui contrôlent cette nouvelle technologie. Ces questions doivent être abordées de toute urgence, au sein de la communauté mathématique, par les entreprises qui développent ces technologies et, plus largement, par une société qui est confrontée à des problèmes similaires dans de nombreux autres domaines d’activité intellectuelle.